Gaußsche Umzugsdurchschnitte, Semimartingales und Optionspreise Patrick Cheridito. Institut für Mathematik, ETH Zrich, CH-8092 Zrich, Schweiz Erhalten am 30. Januar 2003. Überarbeitet am 11. Juni 2003. Akzeptiert am 18. August 2003. Am 21. September 2003 verfügbar. Wir bieten eine Charakterisierung der Gaußschen Prozesse mit stationären Inkrementen, die als dargestellt werden können Ein gleitender Durchschnitt in Bezug auf eine zweiseitige Brownsche Bewegung. Für einen solchen Prozeß geben wir eine notwendige und hinreichende Bedingung, um ein Semimartingale in Bezug auf die Filtration zu sein, die durch die zweiseitige Brownsche Bewegung erzeugt wird. Weiterhin zeigen wir, dass diese Bedingung impliziert, dass der Prozess entweder eine endliche Variation oder ein Vielfaches einer Brownschen Bewegung in Bezug auf ein Äquivalentwahrscheinlichkeitsmaß ist. Als Bewerbung diskutieren wir das Problem der Optionspreise in Finanzmodellen, die von Gaußschen Bewegungsdurchschnitten mit stationären Inkrementen angetrieben werden. Insbesondere erheben wir Optionspreise in einer regelmäßigen Bruchversion des BlackScholes-Modells. Gaußsche Prozesse Bewegliche durchschnittliche Repräsentation Semimartingales Äquivalente Martingal-Maßnahmen Optionspreise 1 Einleitung Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, der mit einer zweiseitigen Brownschen Bewegung ausgestattet ist, dh ein kontinuierlicher, zentrierter Gaußscher Prozess mit Kovarianz Für eine Funktion, die auf der negativen realen Achse null ist und erfüllt ist Für alle t gt0 kann man den zentrierten Gaußschen Prozess mit stationären Inkrementen definieren. Der Zweck dieser Arbeit ist die Untersuchung von Prozessen der Form (1.1) mit Blick auf die Finanzmodellierung. Ist (X t) t 0 ein stochastischer Vorgang, so bezeichnen wir mit der kleinsten Filtration, die die üblichen Annahmen erfüllt und die Filtration enthält. Wir bezeichnen die kleinste Filtration, die die üblichen Annahmen erfüllt und die Filtration enthält. Die Struktur des Papiers ist wie folgt Folgt In Abschnitt 2 erinnern wir uns an ein Ergebnis von Karhunen (1950). Die notwendige und hinreichende Bedingungen für einen stationären, zentrierten Gaußschen Prozeß gibt, der in der Form darstellbar ist. In Abschnitt 3 geben wir eine Charakterisierung jener Prozesse der Form (1.1), die - semimartingales sind, und wir zeigen, daß sie entweder endliche Variationsprozesse sind, oder für jedes T (0) gibt es eine äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaßnahme, unter welcher (Y T) t 0, T ist ein Vielfaches einer Brownschen Bewegung. In Abschnitt 4 wenden wir eine in Masani (1972) eingeführte Transformation an, um eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen stationären, zentrierten Gaußschen Prozessen und zentrierten Gaußschen Prozessen mit stationären Inkrementen zu erstellen, die für t 0 null sind. Dies ermöglicht es uns, das Karhunens-Ergebnis auf zentriert zu erweitern Gaußsche Prozesse mit stationären Inkrementen und um zu zeigen, dass jeder Prozess der Form (1.1) durch Semimartale der Form (1.1) angenähert werden kann. Durch die Übertragung der Ergebnisse aus Abschnitt 3 zurück in den Rahmen der stationären zentrierten Gaußschen Prozesse erhalten wir eine Erweiterung des Satzes 6.5 des Ritters (1992). Die eine notwendige und hinreichende Bedingung für einen Prozeß der Form (1.2) als - semimartingale gibt. In Abschnitt 5 diskutieren wir das Problem der Optionspreise in Finanzmodellen, die durch Prozesse des Formulars (1.1) angetrieben werden. Als Beispiel bezahlen wir eine europäische Call-Option in einem regulierten Fraktional BlackScholes-Modell. 2 Stationäre Gaußsche Bewegungsdurchschnitte Definition 2.1 Ein stochastischer Prozess ist stationär, wenn für alle, wo die Gleichheit aller endlichdimensionalen Verteilungen bezeichnet wird. Definition 2.2 Mit S bezeichnen wir den Satz von Funktionen, so dass (t) 0 für alle t lt0. Wenn S. Wir können für alle, definieren in der L 2 - Sensse. Es ist klar, dass es sich um einen stationären, zentrierten Gaußschen Prozess handelt. Wenn möglich, wählen wir eine rechts-kontinuierliche Version. Beispiel 2.3 Für einen gt0. Dann ist S. Und ist ein stationärer OrnsteinUhlenbeck-Prozess. Bemerkung 2.4 Sei S. Es kann durch Annäherung mit stetigen Funktionen mit kompakter Unterstützung gezeigt werden, so dass t X t eine kontinuierliche Kartierung von bis ist. Darüber hinaus bezeichnet das L 2 - Gehäuse der linearen Spannweite eines Satzes von quadratintegrierbaren Zufallsvariablen. Der folgende Satz folgt aus Satz 5 in Karhunen (1950). Theorem 2.5 (Karhunen, 1950) Sei ein stationärer zentrierter Gaußscher Prozess, so dass genau die gleichen Argumente, die zeigen, dass das Standard-BlackScholes-Modell arbitragefrei und vollständig ist, verwendet werden kann, um zu beweisen, dass das gleiche für das Modell gilt ( 5.1). Insbesondere ist der einmalige angemessene Preis einer europäischen Call-Option mit Fälligkeit T und Ausübungspreis K gegeben durch If ist von der Form (i) oder (ii), dann kann er leicht reguliert werden: Wählen Sie eine beliebige Volatilität v gt0. Nach Satz 4.4. Es existiert für alle gt0 eine Funktion der Form (iii) so und Bemerkung 5.1 (1) Sei SI I mit (0) 0. Offensichtlich hängt die Verteilung des Prozesses (Y t) t 0, T von der ganzen Funktion ab. Auf der anderen Seite hängt der Optionspreis (5.2) nur von (0) ab. Der Grund dafür ist, dass der von (5.2) gegebene Optionspreis der minimale Betrag an anfänglichem Reichtum ist, der benötigt wird, um die Optionen mit einer Handelsstrategie zu replizieren, die kontinuierlich rechtzeitig angepasst werden kann und aus (3.9) Dass die Volatilität des Modells (5.1) durch (0) gegeben ist. (2) Durch Ersetzen der Funktion SI in der Darstellung (3.3) durch einen geeigneten stochastischen Prozeß (t) t 0, T mit Werten in SI. Es sollte möglich sein, Modelle des Formulars (5.1) auf Modelle mit stochastischer Volatilität zu erweitern. Beispiel 5.2 (Regularized fractional BlackScholes model) Für eine positive Konstante. Und c H wie in Beispiel 3.3 (b). Dann ist der Prozess gleich, wo ist ein Standard-fBm, und das entsprechende Modell (5.1) ist eine Bruchversion des BlackScholes-Modells. Für eine Diskussion über den empirischen Nachweis der Korrelation in Aktienrenditen siehe z. B. Cutland et al. (1995) oder Willinger et al. (1999) und die darin enthaltenen Referenzen. In Klppelberg und Khn (2002) werden gebrochene Asset-Preismodelle durch eine Demonstration motiviert, dass fBm als Grenze von Poisson-Shot-Lärmprozessen gesehen werden kann. Allerdings folgt aus Satz 3.9 (b), daß (B t H) t 0, T kein Halbfuß in Bezug auf die Filtration ist, und es ist bekannt, daß es auch kein Semimartingale in seiner eigenen Filtration ist (für einen Beweis Im Fall siehe Beispiel 4.9.2 in Liptser und Shiryaev (1989) für einen allgemeinen Beweis siehe Maheswaran und Sims (1993) oder Rogers (1997)). Es folgt aus Satz 7.2 in Delbaen und Schachermayer (1994), dass es ein freies Mittagessen mit verschwindendem Risiko gibt, das aus einfachen - vorhersagbaren Handelsstrategien besteht. Eine frühzeitige Diskussion über die Existenz von Arbitrage in fBm-Modellen findet sich in Maheswaran und Sims (1993). In Rogers (1997) wird eine Arbitrage für ein lineares fBm-Modell konstruiert, und es wird gezeigt, dass fBm in ein Semimartingale umgewandelt werden kann, indem die Funktion in der Nähe von Null modifiziert wird. Die Arbitrage-Strategien in Shiryaev (1998) und Salopek (1998) arbeiten für lineare und exponentielle fBm-Modelle mit. In Cheridito (2003) Arbitrage für lineare und exponentielle fBm Modelle ist für alle konstruiert. Um das gebrochene BlackScholes-Modell zu regulieren, können wir die Funktion (5.3) wie folgt modifizieren: Für v gt0 und d gt0 definieren Es ist klar, dass für gegebene v gt0, also, wie im Beweis von Proposition 4.4 gezeigt werden kann Alle gt0 existiert ad gt0, so dass andererseits, da die Funktion v, d von Form (iii) ist, das entsprechende Modell (5.1) arbitragefrei und vollständig ist und der Preis einer europäischen Call-Option gegeben ist (5.2). Danksagungen Dieses Papier wuchs aus einem Kapitel der Autoren Dissertation an der ETH Zrich unter der Aufsicht von Freddy Delbaen durchgeführt. Der Autor ist dankbar für Jan Rosinski und Marc Yor für hilfreiche Kommentare und für Yacine At-Sahalia für eine Einladung zum Bendheim Center for Finance in Princeton, wo ein Teil der Zeitung geschrieben wurde. Die finanzielle Unterstützung des Schweizerischen Nationalfonds und der Credit Suisse wird dankbar anerkannt. Referenzen Black and Scholes 1973 F. Black. M. Scholes Die Preisgestaltung von Options - und Unternehmensverbindlichkeiten J. Polit. Wirtschaft Band 81. 1973. pp. 637659 Cheridito 2002 P. Cheridito Empfindlichkeit des BlackScholes-Optionspreises für das lokale Pfadverhalten des stochastischen Prozesses Modellierung des zugrunde liegenden Vermögenswertes Proc. Steklov Inst. Mathe. Band 237. 2002. pp. 225239 Cheridito 2003 P. Cheridito Arbitrage in fraktionalen Brownschen Bewegungsmodellen Finanzen Stochast. Band 7. 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Verzögerung gibt die Anzahl der bisherigen Datenpunkte an, die mit dem aktuellen Datenpunkt bei der Berechnung des gleitenden Durchschnitts verwendet wurden. Ausgabe tsmovavg (Vektor, s, lag, dim) gibt den einfachen gleitenden Durchschnitt für einen Vektor zurück. Verzögerung gibt die Anzahl der bisherigen Datenpunkte an, die mit dem aktuellen Datenpunkt bei der Berechnung des gleitenden Durchschnitts verwendet wurden. Ausgabe tsmovavg (tsobj, e, timeperiod) gibt den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt zurück, tsobj. Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt, wobei die Zeitspanne den Zeitraum festlegt. Exponentielle gleitende Durchschnitte reduzieren die Verzögerung, indem sie mehr Gewicht auf die jüngsten Preise anwenden. Zum Beispiel gewinnt ein 10-Perioden-exponentieller gleitender Durchschnitt den jüngsten Preis um 18,18. Exponentieller Prozentsatz 2 (TIMEPER 1) oder 2 (WINDOWSIZE 1). Ausgabe tsmovavg (Vektor, e, timeperiod, dim) gibt den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt für einen Vektor zurück. Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt, wobei die Zeitspanne den Zeitraum festlegt. Exponentielle gleitende Durchschnitte reduzieren die Verzögerung, indem sie mehr Gewicht auf die jüngsten Preise anwenden. Zum Beispiel gewinnt ein 10-Perioden-exponentieller gleitender Durchschnitt den jüngsten Preis um 18,18. (2 (Zeitperiode 1)). Ausgabe tsmovavg (tsobj, t, numperiod) gibt den dreieckigen gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt zurück, tsobj. Der dreieckige gleitende Durchschnitt verdoppelt die Daten. Tsmovavg berechnet den ersten einfachen gleitenden Durchschnitt mit der Fensterbreite der Decke (numperiod 1) 2. Dann berechnet es einen zweiten einfachen gleitenden Durchschnitt auf dem ersten gleitenden Durchschnitt mit der gleichen Fenstergröße. Ausgabe tsmovavg (Vektor, t, numperiod, dim) liefert den dreieckigen gleitenden Durchschnitt für einen Vektor. Der dreieckige gleitende Durchschnitt verdoppelt die Daten. Tsmovavg berechnet den ersten einfachen gleitenden Durchschnitt mit der Fensterbreite der Decke (numperiod 1) 2. Dann berechnet es einen zweiten einfachen gleitenden Durchschnitt auf dem ersten gleitenden Durchschnitt mit der gleichen Fenstergröße. Ausgabe tsmovavg (tsobj, w, Gewichte) gibt den gewichteten gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt zurück, tsobj. Indem man Gewichte für jedes Element im bewegten Fenster liefert. Die Länge des Gewichtungsvektors bestimmt die Größe des Fensters. Wenn größere Gewichtsfaktoren für neuere Preise und kleinere Faktoren für frühere Preise verwendet werden, reagiert der Trend eher auf die jüngsten Veränderungen. Ausgabe tsmovavg (Vektor, w, Gewichte, Dim) gibt den gewichteten gleitenden Durchschnitt für den Vektor zurück, indem er Gewichte für jedes Element im bewegten Fenster liefert. Die Länge des Gewichtungsvektors bestimmt die Größe des Fensters. Wenn größere Gewichtsfaktoren für neuere Preise und kleinere Faktoren für frühere Preise verwendet werden, reagiert der Trend eher auf die jüngsten Veränderungen. Ausgabe tsmovavg (tsobj, m, numperiod) gibt den geänderten gleitenden Durchschnitt für das finanzielle Zeitreihenobjekt zurück, tsobj. Der geänderte gleitende Durchschnitt ähnelt dem einfachen gleitenden Durchschnitt. Betrachten Sie das Argument numperiod, um die Verzögerung des einfachen gleitenden Durchschnitts zu sein. Der erste modifizierte gleitende Durchschnitt wird wie ein einfacher gleitender Durchschnitt berechnet. Nachfolgende Werte werden berechnet, indem der neue Preis addiert und der letzte Durchschnitt von der resultierenden Summe subtrahiert wird. Ausgabe tsmovavg (vector, m, numperiod, dim) gibt den modifizierten gleitenden Durchschnitt für den Vektor zurück. Der geänderte gleitende Durchschnitt ähnelt dem einfachen gleitenden Durchschnitt. Betrachten Sie das Argument numperiod, um die Verzögerung des einfachen gleitenden Durchschnitts zu sein. Der erste modifizierte gleitende Durchschnitt wird wie ein einfacher gleitender Durchschnitt berechnet. Nachfolgende Werte werden berechnet, indem der neue Preis addiert und der letzte Durchschnitt von der resultierenden Summe subtrahiert wird. Dim 8212 Dimension, um eine positive Ganzzahl mit dem Wert 1 oder 2 zu betreiben, Dimension, um zusammenzuarbeiten, als positive Ganzzahl mit einem Wert von 1 oder 2 angegeben. Dim ist ein optionales Eingabeargument, und wenn es nicht als Eingabe enthalten ist, ist die Voreinstellung Wert 2 wird angenommen. Die Voreinstellung von dim 2 gibt eine zeilenorientierte Matrix an, wobei jede Zeile eine Variable ist und jede Spalte eine Beobachtung ist. Wenn dim 1 ist, wird die Eingabe als Spaltenvektor oder spaltenorientierte Matrix angenommen, wobei jede Spalte eine Variable und jede Zeile eine Beobachtung ist. E 8212 Indikator für den exponentiellen gleitenden durchschnittlichen Zeichenvektor Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein gewichteter gleitender Durchschnitt, wobei die Zeitspanne die Zeitspanne des exponentiellen gleitenden Durchschnitts ist. Exponentielle gleitende Durchschnitte reduzieren die Verzögerung, indem sie mehr Gewicht auf die jüngsten Preise anwenden. Zum Beispiel, ein 10 Perioden exponentiell gleitenden Durchschnitt gewichtet den jüngsten Preis um 18,18. Exponentieller Prozentsatz 2 (TIMEPER 1) oder 2 (WINDOWSIZE 1) Zeitperiode 8212 Länge der Zeitspanne Nichtnegative Ganzzahl Wählen Sie Ihr LandMoving Average Filter (MA Filter) Loading. Der gleitende Durchschnittsfilter ist ein einfacher Low Pass FIR (Finite Impulse Response) Filter, der üblicherweise zum Glätten eines Arrays von abgetastetem Datensignal verwendet wird. Es nimmt M Abtastwerte der Eingabe zu einer Zeit und nehmen den Durchschnitt dieser M-Samples und erzeugt einen einzelnen Ausgangspunkt. Es ist eine sehr einfache LPF (Low Pass Filter) Struktur, die für Wissenschaftler und Ingenieure praktisch ist, um unerwünschte geräuschvolle Komponenten aus den beabsichtigten Daten zu filtern. Wenn die Filterlänge zunimmt (der Parameter M), erhöht sich die Glätte des Ausgangs, während die scharfen Übergänge in den Daten zunehmend stumpf werden. Dies impliziert, dass dieser Filter eine ausgezeichnete Zeitbereichsantwort hat, aber eine schlechte Frequenzantwort. Der MA-Filter führt drei wichtige Funktionen aus: 1) Es nimmt M Eingangspunkte, berechnet den Mittelwert dieser M-Punkte und erzeugt einen einzelnen Ausgangspunkt 2) Aufgrund der Berechnungsberechnungen. Der Filter führt eine bestimmte Verzögerung ein 3) Der Filter fungiert als Tiefpassfilter (mit schlechter Frequenzbereichsantwort und einer guten Zeitbereichsantwort). Matlab-Code: Nach dem Matlab-Code simuliert die Zeitbereichsantwort eines M-Punkt-Moving Average-Filters und zeichnet auch den Frequenzgang für verschiedene Filterlängen auf. Zeit Domain Response: Auf dem ersten Plot haben wir die Eingabe, die in den gleitenden Mittelfilter geht. Der Eingang ist laut und unser Ziel ist es, den Lärm zu reduzieren. Die nächste Abbildung ist die Ausgangsreaktion eines 3-Punkt-Moving Average-Filters. Es kann aus der Figur abgeleitet werden, dass der 3-Punkt-Moving Average-Filter nicht viel beim Ausfiltern des Rauschens getan hat. Wir erhöhen die Filterhähne auf 51 Punkte und wir können sehen, dass das Rauschen in der Ausgabe viel reduziert hat, was in der nächsten Abbildung dargestellt ist. Wir erhöhen die Hähne weiter auf 101 und 501 und wir können beobachten, dass - obwohl das Rauschen fast null ist, die Übergänge drastisch abgestumpft werden (beobachten Sie die Steigung auf beiden Seiten des Signals und vergleichen Sie sie mit dem idealen Ziegelwandübergang in Unsere Eingabe). Frequenzgang: Aus dem Frequenzgang kann behauptet werden, dass der Roll-off sehr langsam ist und die Stoppbanddämpfung nicht gut ist. Angesichts dieser Stoppbanddämpfung kann eindeutig der gleitende Durchschnittsfilter kein Frequenzband von einem anderen trennen. Da wir wissen, dass eine gute Leistung im Zeitbereich zu schlechter Leistung im Frequenzbereich führt und umgekehrt. Kurz gesagt, der gleitende Durchschnitt ist ein außergewöhnlich guter Glättungsfilter (die Aktion im Zeitbereich), aber ein außergewöhnlich schlechter Tiefpassfilter (die Handlung im Frequenzbereich) Externe Links: Empfohlene Bücher: Primary SidebarUsing MATLAB, wie kann ich Finden Sie den 3-tägigen gleitenden Durchschnitt einer bestimmten Spalte einer Matrix und fügen Sie den gleitenden Durchschnitt zu dieser Matrix hinzu Ich versuche, den 3-tägigen gleitenden Durchschnitt von unten nach oben der Matrix zu berechnen. Ich habe meinen Code bereitgestellt: Angesichts der folgenden Matrix a und Maske: Ich habe versucht, den Conv-Befehl zu implementieren, aber ich bekomme einen Fehler. Hier ist der Conv-Befehl, den ich in der 2. Spalte der Matrix a verwendet habe: Die Ausgabe, die ich wünsche, ist in der folgenden Matrix gegeben: Wenn Sie irgendwelche Vorschläge haben, würde ich es sehr schätzen. Vielen Dank Für Spalte 2 von Matrix a, berechne ich den 3-tägigen gleitenden Durchschnitt wie folgt und platziere das Ergebnis in Spalte 4 der Matrix a (ich benannte Matrix a als 39desiredOutput39 nur zur Illustration). Der 3-Tages-Durchschnitt von 17, 14, 11 ist 14 der 3-Tages-Durchschnitt von 14, 11, 8 ist 11 der 3-Tages-Durchschnitt von 11, 8, 5 ist 8 und der 3-Tage-Durchschnitt von 8, 5, 2 ist 5. Es gibt keinen Wert in den unteren 2 Zeilen für die 4. Spalte, da die Berechnung für den 3-tägigen gleitenden Durchschnitt am Anfang beginnt. Die 39valid39 Ausgabe wird nicht angezeigt, bis mindestens 17, 14 und 11. Hoffentlich ist das sinnlich ndash Aaron Jun 12 13 um 1:28 Im Allgemeinen würde es helfen, wenn du den Fehler zeigen würdest. In diesem Fall machst du zwei Dinge falsch: Zuerst muss deine Faltung durch drei geteilt werden (oder die Länge des gleitenden Durchschnitts) Zweitens bemerke die Größe von c. Du kannst nicht einfach in einen. Die typische Art, einen gleitenden Durchschnitt zu bekommen, wäre, dasselbe zu verwenden: aber das sieht nicht so aus, was du willst. Stattdessen sind Sie gezwungen, ein paar Zeilen zu benutzen:
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